İşlevsel Hilbert uzayları, istatistik, yaklaşım teorisi, grup temsili teorisi, vb. dahil olmak üzere birçok alanda ortaya çıkar. İşlevsel Hilbert uzay sayesinde tanımlanan Berezin dönüşümü ise, düzgün fonksiyonları analitik fonksiyonların Hilbert uzayları üzerindeki operatörlerle ilişkilerini inceler. Berezin yarıçapını ve Berezin normunu karakterize etmek için bazı çalışmalarda birçok eşitsizlik ve bunların özellikleri vardır. Bu çalışmada fonksiyonel bir Hilbert uzayı üzerinde tanımlanan sınırlı lineer operatörlerin Berezin normu ve Berezin sayısı için yeni eşitsizlikler sunulmuştur. Bu makalenin benzersizliği veya yeniliği, iki operatör için yeni Berezin sayıları tahminlerinden oluşmaktadır. Bu tahminler, diğer benzer makaleler tarafından elde edilen Berezin sayılarının üst sınırlarını iyileştirmiştir. Daha sonra El-Haddad and Kittaneh ([10]) tarafından verilen eşitsizlik genelleştirilmiş ve iyileştirilmiştir. Bu çalışmada fikir ve sunulan metodolojiler, bu alanda gelecekteki araştırmalar için bir başlangıç noktası olarak hizmet edebilir.Functional Hilbert spaces are encountered in a variety of fields, including statistics, approximation theory, group representation theory, and so on. Smooth functions are associated with operators on Hilbert spaces of analytic functions through the Berezin transform defined by functional Hilbert space. We present new inequalities for the Berezin norm and Berezin number of limited linear operators defined on a functional Hilbert space in this study. We discovered various inequalities and their features in some papers to characterize the Berezin number and the Berezin norm. This article's originality or novelty consists of fresh Berezin number estimations for two operators. These estimates improve on the upper bounds of the Berezin numbers found in previous studies. The inequality given by El-Haddad and Kittaneh ([10]) is then improved and generalized after that. The concepts and approaches offered in this paper may serve as a starting point for future research in this field.